.从静止开始的匀加速直线运动——“自然加速运动”，物体开始下落后某一时刻的速度与时间成正比（任意相等的时间间隔内速度的增量都相等），比例系数为定义为“加速度”，在此期间，运动的平均速度是最终速度的一半。这一结论的证明延续了古希腊的几何传统，实质上为后来的解析几何和微积分方法奠定了原型。
这组几何描述的自然结论： 对于从静止开始的匀加速直线运动，从起点到任意位置的距离与时间的平方成正比—— 如果这个匀加速运动是自由落体，那么这就是所谓“自由落体定律”。它还有一个可以在经验世界中检验的推论： 从静止开始，任意相邻相等时间间隔内的运动距离之比为1:3:5:7:9. 正好构成了一个奇数序列—— 这是毕达哥拉斯的发现。
……
作者：李青舟《德尔斐的囚徒：从苏格拉底到爱因斯坦》 摘录
对于从静止开始的匀速直线运动，直角三角形的两条直角边分别表示时间t和终点速度v。 v与t成正比，即v=at。比例系数a定义为加速度。矩形的面积表示物体在时间t内以终端速度v即vt做匀速直线运动的距离，而直角三角形的面积表示这段时间的距离匀加速直线运动的速度，可以表示为该段匀加速直线运动的平均速度。 （v上面加破折号不能打，下同）与经过时间t的乘积t。从直角三角形的面积是矩形面积的一半，可以推导出平均速度是终端速度的一半。平均速度的几何意义正是直角边v对应的中线。
自由落体运动是一种初速度为0的匀加速线性运动。自由落体运动可以用公式d=16t来描述，其中d代表物体下落的距离，单位为英尺(ft)。 t表示运动时间，单位为秒(s)。很容易求出重力加速度g=32（ft/s）。由物理公式s=1/2gt可得d=16t。将其视为原函数，求导得到v=32t。导数的物理意义是某一时刻的瞬时速度（距离相对时间的瞬时变化率）。例如，要求自由落体运动第三秒结束时的瞬时速度，将t=3 代入公式可得
v=96（英尺/秒）。
已知原函数y=f(x)=16x 是求其导数的正向问题。求导结果为f\'(x)=32x。已知导函数f\'(x)=32x，求其原函数是一个反问题。
图中直角三角形的斜边就是匀加速直线运动的速度-时间图。曲线下的面积表示随时间t 的累积距离。
现在我们来计算函数f(x)=32x的图形以及x轴和直线x=5围成的图形的面积。
利用牛顿-莱布尼茨公式计算：首先求出F(x)的解析公式：F(x)=16x。
将已知条件代入公式：
F(5)=165=2544=400，
F(0)=0，所以所需面积为400。
看下一张图，它说明了公式v=v+at的物理意义。
例如求函数y=32x、x轴、直线x=3和直线x=5围成的图形的面积。
F(5)=400，F(3)=169=144，所需面积=400-144=256。
现在我们用梯形面积公式来计算：梯形的上下底可以用导数函数y=32x来计算。 S=1/2(96+160)·2=256。
知识概括
原功能
函数f(x) 定义在区间I 上。如果存在函数F(x)，并且F\'(x)=f(x) 存在于区间I 上的任意点x，则F(x) 为称为函数f（x 的原函数）。如果F(x) 是函数f(x) 在区间I 上的原函数，且C 是任意常数，则有：
(1)F(x)+C也是f(x)的原函数；
(2) 区间I上f(x)的任意本原函数都可以表示为F(x)+C的形式。
不定积分
f(x)的所有原函数F(x)+C（C为常数的首字母）称为函数f(x)的不定积分，记为：f(x)dx，即
f(x)dx=F(x)+C。
其中，称为积分符号，f(x)称为被积函数，x称为积分变量，f(x)dx称为被积函数，C称为积分常数。
不定积分的运算规则
(1)kf(x)dx=kf(x)dx;
(2)[f(x)g(x)]dx=f(x)dx
g(x)dx;
基本积分公式
(1)0dx=C；
(2)1dx=x+C；
(3)edx=e+C;
(4)sinxdx=-cosx+C；
(5)cosxdx=sinx+C；
(6)secxdx=tanx+C；
现在为了增加难度，我们来计算一下下图所示的面积。
被积函数为xdx，积分下限为1，积分上限为4。
计算定积分的方法是如下所示的牛顿-莱布尼茨公式。
图片来自20世纪90年代高中数学教材《微积分初步》，A级全册。当时重点高中使用A型教材，普通高中使用B型教材（指理科教材）。
答案如下所示：
让我们看另一个例子。找到下图所示的区域。
求被积函数xdx从0到1的面积。答案如下所示：
求被积函数xdx 在区间[0,1] 内的曲线下面积。答案如下所示：
我们的样题很简单，但考试不会那么简单。这个问题将像老师想象的那样困难。
最后我们以解决一道高考数学题来结束本文。
问题呈现
假设y=f(x) 是二次函数，方程f(x)=0 有两个相等的实根，且f\'(x)=2x+2。
(1)求出y=f(x)的表达式；
(2)若直线x=-t(0t1)平分y=f(x)的像和两个坐标轴围成的图形面积，求t的值。
（1995年上海高考真题）
请大家思考一下，总结知识后给出答案分析。
定积分
对于区间[a, b]上连续函数f(x)的任意原函数F(x)，从x=a到x=b的变化量F(b)-F(a)称为函数f (x) 区间[a, b]内的定积分写为
现在
上图是牛顿-莱布尼茨公式。
平面图形的面积
连续函数y=f(x)(f(x)0)表示的曲线与直线x=a、x=b与x轴所围成的曲线梯形的面积为
现在就开始解决问题。
解决方案：（第一个问题）
假设f(x)=ax+bx+c，则f\'(x)=2ax+b。
还已知f\'(x)=2x+2，因此a=1，b=2。
f(x)=x+2x+c
方程f(x)=0 有两个相等的实根
=4-4c=0，c=1
f(x)=x+2x+1
（第二个问题）
根据标题，有
第一题是反问题，即给定导函数，求原函数。第二个问题考察定积分。
科学还没有普及，媒体还需要努力。感谢您的阅读，再见。
用户评论
哇！从伽利略到上海高考微积分综合题，这跨度也太大了！
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这篇文章讲的是什么？感觉很有意思，想了解一下
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上海高考的微积分题难度真的很大吗？
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这标题太吸引人了，简直是数学爱好者的福音
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从伽利略到微积分，历史和数学的结合，太棒了！
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想看看作者是怎么把伽利略和高考微积分联系起来的
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伽利略的贡献真是太伟大了！
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上海高考微积分综合题，这可是很多学生的噩梦啊！
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这篇文章会讲解哪些知识点呢？
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从伽利略到上海高考，这篇文章一定很精彩！
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高考微积分，想想就头疼，希望这篇文章能帮到我
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微积分真是个神奇的学科，能解决很多实际问题
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